درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 4: روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا
در سال گذشته با تعدادی از اتحادهای مثلثاتی مانند ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ و $(\cos \alpha \ne 0)1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ آشنا شدید. این اتحادها تنها شامل یک زاویه هستند. اکنون در این درس، روابطی را که در آنها دو زاویه مختلف به کار رفته است فرا میگیرید.
فعالیت (صفحه 110 تا 111 کتاب درسی)
1) در شکل زیر، چهارضلعی $ABCD$ یک مستطیل است. اندازه پارهخط $AF$ برابر 1 و زوایای $\alpha $ و $\beta $ داده شده است.
الف) با تکمیل روابط زیر اندازه $F\hat EC$ و $A\hat FD$ را برحسب $\alpha $ و $\beta $ بهدست آورید.
$\left. \begin{gathered}
F\hat EC + {90^ \circ } + A\hat EB = 180 \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha + {90^ \circ } + A\hat EB = 180 \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow F\hat EC = ......$
$ \Rightarrow A\hat FD = .....$ اضلاع $AB$ و $DC$ با هم موازی و پارهخط $AF$ بهصورت مورب آن را قطع کرده است.
ب) اندازه اضلاع $AD$ و $DF$ از $\mathop {ADF}\limits^\Delta $ را با توجه به اینکه $AF = 1$، برحسب نسبتهای سینوس و کسینوس $D\hat FA$ بنویسید.
پ) اضلاع $AE$ و $EF$ از مثلث قائمالزاویه $AEF$ را، که وتر آن برابر 1 است، برحسب نسبتهای سینوس و کسینوس زاویه $\beta $ بنویسید.
ت) اندازهٔ پارهخطهای $BE$، $EC$، $FC$ و $AB$ را برحسب نسبتهای سینوس و کسینوس زاویه $\alpha $ بهدست آورید.
ث) از تساویاضلاع زیر در مستطیل بالا روابط زیر بهدست میآید. آنها را باتوجه به قسمتهای الف تا ث کامل کنید.
$AD = BE + EC \Rightarrow \sin (\alpha + \beta ) = ......$
$DF = AB - FC \Rightarrow \cos (\alpha + \beta ) = ......$
2) توضیح دهید چرا اگر اندازهٔ پارهخط $AF$ برابر یک نباشد کماکان روابط فوق برقرار است.
در فعالیت فوق زوایای به کار رفته همگی تند بودند. میتوان با استفاده از خواص توابع مثلثاتی نشان داد که این روابط برای همه زوایا برقرار است. بنابراین همواره داریم:
همچنین با تبدیل $\beta $ به $ - \beta $ و استفاده از نسبتهای مثلثاتی زوایای قرینه میتوان بهدست آورد:
$\sin (\alpha - \beta ) = \sin (\alpha + ( - \beta )) = \sin \alpha \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $
و نیز
$\cos (\alpha - \beta ) = \cos (\alpha + ( - \beta )) = \cos \alpha \cos ( - \beta ) - \sin \alpha \sin ( - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
پس همواره داریم:
مثال: مقدار $\sin {75^ \circ }$ در زیر محاسبه شده است.
$\sin {75^ \circ } = \sin ({45^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \cos {45^ \circ }\sin {30^ \circ }$
$ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}$
مثال: درستی رابطهٔ $\tan (\frac{\pi }{2} + \theta ) = - \cot \theta $ را نشان دهید.
$\tan (\frac{\pi }{2} + \theta ) = \frac{{\sin (\frac{\pi }{2} + \theta )}}{{\cos (\frac{\pi }{2} + \theta )}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{2}\cos \theta + \cancel{{\cos \frac{\pi }{2}\sin \theta }}}}{{\cancel{{\cos \frac{\pi }{2}\cos \theta }} - \sin \frac{\pi }{2}\sin \theta }} = \frac{{\cos \theta }}{{ - \sin }} = - \cot \theta $
تمرین (صفحه 112 کتاب درسی)
1) مقدار نسبتهای مثلثاتی زیر را محاسبه کنید.
$\cos {15^ \circ }$ (الف
$\tan {105^ \circ }$ (ب
$\sin \frac{\pi }{{12}}$ (پ
$\sin {120^ \circ }$ (ت
$\cos {135^ \circ }$ (ث
2) فرض کنید $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ و $\cos \beta = - \frac{{12}}{{13}}$ و انتهای کمان $\alpha $ در ربع اول و انتهای کمان $\beta $ در ربع دوم قرار دارد. اکنون به سؤالات زیر پاسخ دهید.
الف) مقدار دقیق $\sin (\alpha + \beta )$ و $\cos (\alpha - \beta )$ چیست؟
ب) انتهای زاویه $\alpha + \beta $ در کدام ربع قرار میگیرد؟
3) با استفاده از روابط نسبتهای مجموع دو زاویه نشان دهید که:
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $ (الف
$\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha $ (ب
$\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1$ (پ
$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha $ (ت
4) نسبتهای مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویهٔ $22/{5^ \circ }$ بهدست آورید.